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根据多项式定理拆解可得 SUM 5Ci a10^(5-i)k^i, C是组合，显然可见只有在5C5 a10^0k^5的时候才是个位数为5. 所以本质的证明是(a*10+k)^5 =k mod 10可以等价于证明 k^5=k mod 10. 如何证明呢？可以用中国剩余定理Z/2 x Z5 = Z/10，因为如果能证明k^5=kmod 5, k^5= k mod 2，那么显然k^5=k mod (2*5)是成立的. 显然, k^5=k mod 5 是费马小定理可证，而k^5=k mod 2可以直接用奇偶判断也可以成立，那么显然k^5=k mod 10成立。 证明2则简单的多，只需要用欧拉计数公式可得。欧拉计数公式： k^ phi(10) = 1 mod 10, 其中phi(10)是欧拉计数公式，那我们来解一下计数公式：在1到9中，只有1，3，7，9是和10互质的，那么显然phi(10)=4,所以 k^4= 1 mod 10, 根据模乘法， k^4 * k = 1* k mod 10 ---> k^5 = k mod 10，证明完毕。
高中生的证明方法： k^5 可以拆解成(a+b)^5, 则根据多项式拆解公式： SUM 5Ci a^(5-i)bi, 则显然在i不是0或5的时候，SUM总和会是10的倍数，因为显然5C2,5C3都是10不用讨论，而5C1,5C4时候是5，则讨论a^4b, ab^4，显然如果我们拆解a,b选择尽量保证一个单偶数则，必然依然会变成10的倍数，（双奇讨论同样）则显然，最后只会出现个位数是5C0 a+ 5c5 b ，显然等于a+b, 等于k,也就是说个位数依然是k,证明完毕。
1^5=1..........................................................................................................................(1)
如果x^5有x的个位数，那么
用Pascal三角（或者叫杨辉三角）或者硬性展开，
(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 +10x^3+10x^2+5x+1 = (10x^3+10x^2)+(5x^4+5x)+(x^5+1)
上面第一个括号里是10的倍数不影响个位数，第二个括号内无论x是单双数都是10的倍数，第三个括号里x^5的个位数是x，所以原式(x+1)^5的个位数就是x+1 .............................(2)
根据上面的(1)和(2)递归推出，任何数的5次方的个位数就是其个位数。